مورته حرفه بازیگری اش را با بازی در یک نقش جزئی در سریال اسپانیایی بیمارستان مرکزی، شروع کرد. در ادامه به بازی در سریال‌های اسپانیایی همچون پلانتا ۲۵ و نقش آدولف کاستیلو در سریال باندولرا و… پرداخت.
در سال ۲۰۱۷، مورته در نقش پروفسور در سریال شبکه اسپانیایی آنتن ۳ به نام سرقت پول، بازی کرد و بازی اش مورد تحسین واقع شد و به همراه این سریال، شهرت جهانی پیدا کرد. در اواخر سال ۲۰۱۷ نت فلیکس حق پخش این سریال را خرید و آنرا در سیستم عامل خود توزیع کرد. فصل ۴ این سریال در آوریل ۲۰۲۰ منتشر شد.
مورته علاوه بر کار بازیگری خود، صاحب یک شرکت تئاتر به نام ۳۰۰ تپانچه است که آنرا در سال ۲۰۱۲ تأسیس کرده‌است.
در دسامبر ۲۰۱۹، اعلام شد مورته به بازیگران سریال جدید آمازون به نام چرخ زمان، پیوسته‌است. این سریال اقتباسی از رمانی فانتزی به همین نام است. مورته قرار است نقش لوگین آبلار را به تصویر بکشد.